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在数论中，素数定理（英语：Prime number theorem）描述素数在自然数中分布的渐进情况，给出随着数字的增大，素数的密度逐渐降低的直觉的形式化描述。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德·拉·瓦莱布桑先后独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。
素数数量（红色）、
x
/
ln
x
{\displaystyle x/\ln x}
（绿色）和
L
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Li}}(x)}
（蓝色）的比较
素数的出现规律一直困惑着数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为素数计数函数，亦即不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。
π
(
x
)
≈
x
ln
x
{\displaystyle \pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}}
其中 ln x 为 x 的自然对数。上式的意思是当 x 趋近无限，π(x)与x/ln x的比值趋近 1。但这不表示它们的数值随着 x 增大而接近。
下面是对π(x)更好的估计：
π
(
x
)
=
L
i
(
x
)
+
O
(
x
e
−
1
15
ln
x
)
{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)}
，当x 趋近∞。
其中
L
i
(
x
)
=
∫
2
x
d
t
ln
t
{\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}}
（对数积分），而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。
目录
1 叙述
2 关于 π(x)、x / ln x 和 li(x) 的数值
3 历史
4 初等证明
5 相关条目
6 参考资料
7 外部链接
叙述
编辑
定义 π(x) 为素数计数函数，也就是小于等于x 的素数个数。例如 π(10)=4，因为共有 4 个素数小于等于 10，分别是 2、3、5、7。素数定理的叙述为：当 x 趋近无限，π(x) 和
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
的比值趋近 1。其数学式写做
lim
x
→
∞
π
(
x
)
x
ln
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1}
。
浅白的说，当 x 很大的时候，π(x) 差不多等于
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
。该定理被认为是素数的渐进分布定律，以渐进符号可简化为
π
(
x
)
∼
x
ln
x
{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}
。
注意到，上式并不是说指随着 x 趋近无限，
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
与
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
的差趋近于 0。而是随着 x 趋近无限，
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
与
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
的相对误差趋近于 0。
因此，素数定理也可以被想像成描述从正整数中抽到素数的概率：从不大于 n 的正整数中随机选出一个数，它是素数的概率大约是
1
ln
n
{\displaystyle {\frac {1}{\ln n}}}
。
素数定理有一个相关的定理，是关于第
n
{\displaystyle n}
个素数
p
n
{\displaystyle p_{n}}
的下界，也就所谓的Rosser定理：
p
n
>
n
ln
n
{\displaystyle p_{n}>n\ln \,n}
关于 π(x)、x / ln x 和 li(x) 的数值
编辑
下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)：
x
{\displaystyle x}
π
(
x
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)}
[1]
π
(
x
)
−
x
ln
x
{\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)-{\frac {x}{\ln x}}}
[2]
π
(
x
)
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\pi }}(x)}{\frac {x}{\ln x}}}}
L
i
(
x
)
−
π
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Li}}(x)-{\boldsymbol {\pi }}(x)}
[3]
x
π
(
x
)
{\displaystyle {\frac {x}{{\boldsymbol {\pi }}(x)}}}
10
4
−0.3
0.921
2.2
2.500
102
25
3.3
1.151
5.1
4.000
103
168
23
1.161
10
5.952
104
1,229
143
1.132
17
8.137
105
9,592
906
1.104
38
10.425
106
78,498
6,116
1.084
130
12.740
107
664,579
44,158
1.071
339
15.047
108
5,761,455
332,774
1.061
754
17.357
109
50,847,534
2,592,592
1.054
1,701
19.667
1010
455,052,511
20,758,029
1.048
3,104
21.975
1011
4,118,054,813
169,923,159
1.043
11,588
24.283
1012
37,607,912,018
1,416,705,193
1.039
38,263
26.590
1013
346,065,536,839
11,992,858,452
1.034
108,971
28.896
1014
3,204,941,750,802
102,838,308,636
1.033
314,890
31.202
1015
29,844,570,422,669
891,604,962,452
1.031
1,052,619
33.507
1016
279,238,341,033,925
7,804,289,844,393
1.029
3,214,632
35.812
1017
2,623,557,157,654,233
68,883,734,693,281
1.027
7,956,589
38.116
1018
24,739,954,287,740,860
612,483,070,893,536
1.025
21,949,555
40.420
1019
234,057,667,276,344,607
5,481,624,169,369,960
1.024
99,877,775
42.725
1020
2,220,819,602,560,918,840
49,347,193,044,659,701
1.023
222,744,644
45.028
1021
21,127,269,486,018,731,928
446,579,871,578,168,707
1.022
597,394,254
47.332
1022
201,467,286,689,315,906,290
4,060,704,006,019,620,994
1.021
1,932,355,208
49.636
1023
1,925,320,391,606,803,968,923
37,083,513,766,578,631,309
1.020
7,250,186,216
51.939
1024
18,435,599,767,349,200,867,866
339,996,354,713,708,049,069
1.019
17,146,907,278
54.243
1025
176,846,309,399,143,769,411,680
3,128,516,637,843,038,351,228
1.018
55,160,980,939
56.546
OEIS
A006880
A057835
A057752
历史
编辑
1797年至1798年间，法国数学家勒让德根据上述的素数表猜测，
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
大约等于
x
A
ln
x
+
B
{\displaystyle {\frac {x}{A\ln x+B}}}
，其中
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
是未知的函数。勒让德于1808年出版一本关于数论的书的第二版，书中他给出更精确的猜测：
A
=
1
{\displaystyle A=1}
，
B
=
−
1.08366
{\displaystyle B=-1.08366}
。根据高斯自己在1849年的回忆，他在15岁或16岁(1792或1793年)的时候就已经考虑过类似的问题了[4]。1832年，狄利克雷经过跟高斯的交流之后，给出了一个新的逼近函数
l
i
(
x
)
{\displaystyle li(x)}
，(事实上他是用一个有点不一样的级数表达式)。勒让德和狄利克雷的式子皆等价于现在的版本，但如果考虑逼近式与
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
的差，而不是比值的话，狄利克雷的式子是准确许多的。
俄国数学家切比雪夫参考了欧拉在1731年的工作，引进了定义在实轴上黎曼ζ函数，企图证明素数分布的渐进式，并将他所得到的结果写成两篇论文，分别在1848和1850年发表。切比雪夫可以证明，如果
lim
x
→
∞
π
(
x
)
x
ln
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}}
存在且有限，则它一定是1[5]。此外，在没有假设任何结果之下，他也证明当 x 足够大，
π
(
x
)
x
ln
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}}
会界在两个很靠近 1 的数字之间[6]。虽然切比雪夫的论文没办法证明素数定理，但它对
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
已经可以推论出伯特兰-切比雪夫定理：对任何大于
1
{\displaystyle 1}
的正整数
n
{\displaystyle n}
，存在一个素数介于
n
{\displaystyle n}
和
2
n
{\displaystyle 2n}
之间。
1859年，黎曼提交了一篇关于素数分布的非常重要的报告《论小于给定数值的素数个数（英语：On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）》，这也是黎曼在这个领域的唯一一篇文章。黎曼在报告中使用了创新的想法，将
ζ
{\displaystyle \zeta }
函数的定义解析延拓到整个复平面，并且将素数的分布与
ζ
{\displaystyle \zeta }
函数的零点紧密的联系起来。因此，这篇报告是历史上首次用复分析的方法研究实函数
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先后独立给出证明。两个证明延著黎曼的思路继续拓展，且都使用复分析的工具，其中的关键步骤是证明如果复数
s
{\displaystyle s}
可以写成
1
+
i
t
{\displaystyle 1+it}
的形式，且
t
>
0
{\displaystyle t>0}
，则
ζ
(
s
)
≠
0
{\displaystyle \zeta (s)\neq 0}
[7]。
进入20世纪之后，阿达马和普桑证明的定理经常被称作素数定理，定理的其他不同证明也陆陆续续被发现，这之中包括1949年阿特勒·塞尔伯格和埃尔德什·帕尔发现的“初等证明”。原本的证明是既冗长，又复杂，于是有很多后面发现的证明使用了陶伯定理（英语：Tauberian theorem）让证明变得比较简短，但却变得让人比较难以消化。1980年，美国数学家唐纳德·J·纽曼（英语：Donald J. Newman）发现了一个简洁的证明[8][9]，这可能是目前已知最简单的证明。不过，证明中使用了柯西积分公式，因此一般不被视为是为初等的证明。
因为黎曼ζ函数与
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
关系密切，关于黎曼
ζ
{\displaystyle \zeta }
函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家海里格·冯·科赫证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为
π
(
x
)
=
L
i
(
x
)
+
O
(
x
ln
x
)
{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)}
至于大O项的常数则还未知道。[来源请求]
初等证明
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素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于1949年由匈牙利数学家保罗·埃尔德什和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。
在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的“深度”。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。
相关条目
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抽象解析数论
切比雪夫函数─与素数定理密切相关的函数
素数计数函数
参考资料
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^ A006880
^ A057835
^ A057752
^ C. F. Gauss. Werke, Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.
^ Costa Pereira, N. A Short Proof of Chebyshev's Theorem. American Mathematical Monthly. August–September 1985, 92 (7): 494–495. JSTOR 2322510. doi:10.2307/2322510.
^ Nair, M. On Chebyshev-Type Inequalities for Primes. American Mathematical Monthly. February 1982, 89 (2): 126–129. JSTOR 2320934. doi:10.2307/2320934.
^ Ingham, A. E. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. 1990: 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.
^ Newman, Donald J. Simple analytic proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly. 1980, 87 (9): 693–696. JSTOR 2321853. MR 0602825. doi:10.2307/2321853.
^ Zagier, Don. Newman's short proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly. 1997, 104 (8): 705–708 [2019-05-03]. JSTOR 2975232. MR 1476753. doi:10.2307/2975232. （原始内容存档于2021-04-20）.
外部链接
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